Dengan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan, buktikan bahwa sin(A + B)sin(A – B) = sin2A – sin2B

Kita harus membuktikan sin(A+B) * sin(AB) = sin ² A – sin ² B

Untuk membuktikan

sin(A+B) * sin(AB) = sin ² A – sin ² B

Bukti

Mari kita mulai dengan LHS yang diberikan

sin(A+B) * sin(AB)

Kita tahu rumus untuk sin(A+B) = sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)

Juga sin(−B)=−sin(B)

cos(−B)=cos(B), jadi

sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)

Oleh karena itu dengan mensubstitusi nilai-nilai dalam persamaan LHS yang diberikan yaitu sin(A+B)⋅sin(A−B) kita dapatkan,

=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB−cosAsinB)

=(sinAcosB) ² (cosAsinB) ²

Sekarang akan menggunakan identitas (a+b)(a−b)=a ² – b ² dalam persamaan di atas

=sin ² Acos ² B−sin ² Bcos ² A

=sin ² A(1−sin ² B)−sin ² B(1−sin ² A)

Sekarang kita tahu bahwa sin ² +cos ² =1 (Dengan teorema Pythagoras)

=sin ² A−sin ² B−sin ² A sin ² B+sin ² Bsin ² A

=sin ² A−sin ² B

= RHS

Maka Terbukti

sin(A+B) sin(AB) = sin ² A – sin ² B

10