Buktikan bahwa turunan dari sin – 1x = 1 /√1-x2
Fungsi trigonometri terbalik diwakili dengan menambahkan busur di awalan untuk fungsi trigonometri, atau dengan menambahkan kekuatan -1, seperti:
Invers dari sin x = arcsin(x) atau (sin^{-1}x)
Kita harus membuktikan (frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} (sin^{-1}x)= frac{1}{sqrt{1-x^{2} }})
Bukti
Diketahui (y = sin^{-1}x)…………(i)
(Panah kanan x = sin y)
Membedakan persamaan di atas wrt x, kita memiliki:
(Rightarrow frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}= frac{1}{cos y})
Menempatkan nilai y bentuk (i), kita mendapatkan
(Rightarrow frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x} = frac{1}{cos y} = frac{1}{cos (sin^{-1} x)})………..(ii)
Dari persamaan (ii), kita dapat melihat bahwa nilai cos y tidak bisa sama dengan 0, karena fungsinya menjadi tidak terdefinisi.
(Rightarrow sin^{-1}x neq frac{-pi}{2}, frac{pi}{2})
yaitu (x neq -1,1)
Dari (i) kita mendapatkan (y = sin^{-1}x) (Panah kanan sin y = sin (sin^{-1}x))
Dengan menggunakan sifat fungsi trigonometri,
(cos^{2}y = 1 – sin^{2}y = 1 – (sin (sin^{-1}x))^{2} = 1 – x^{2}) (Panah kanan cos y = sqrt{1 – x^{2}})…………(iii)
Sekarang menempatkan nilai (iii) di (ii), kita memiliki
(frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}= frac{1}{sqrt{1-x^{2}}})
Oleh karena itu, Turunan dari fungsi sinus terbalik adalah
(frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} (sin^{-1}x)= frac{1}{sqrt{1-x^{2}}})
10