Buktikan bahwa turunan dari sin – 1x = 1 /√1-x2

Fungsi trigonometri terbalik diwakili dengan menambahkan busur di awalan untuk fungsi trigonometri, atau dengan menambahkan kekuatan -1, seperti:

Invers dari sin x = arcsin(x) atau (sin^{-1}x)

Kita harus membuktikan (frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} (sin^{-1}x)= frac{1}{sqrt{1-x^{2} }})

Bukti

Diketahui (y = sin^{-1}x)…………(i)

(Panah kanan x = sin y)

Membedakan persamaan di atas wrt x, kita memiliki:

(Rightarrow frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}= frac{1}{cos y})

Menempatkan nilai y bentuk (i), kita mendapatkan

(Rightarrow frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x} = frac{1}{cos y} = frac{1}{cos (sin^{-1} x)})………..(ii)

Dari persamaan (ii), kita dapat melihat bahwa nilai cos y tidak bisa sama dengan 0, karena fungsinya menjadi tidak terdefinisi.

(Rightarrow sin^{-1}x neq frac{-pi}{2}, frac{pi}{2})

yaitu (x neq -1,1)

Dari (i) kita mendapatkan (y = sin^{-1}x) (Panah kanan sin y = sin (sin^{-1}x))

Dengan menggunakan sifat fungsi trigonometri,

(cos^{2}y = 1 – sin^{2}y = 1 – (sin (sin^{-1}x))^{2} = 1 – x^{2}) (Panah kanan cos y = sqrt{1 – x^{2}})…………(iii)

Sekarang menempatkan nilai (iii) di (ii), kita memiliki

(frac{mathrm{d} y}{mathrm{d} x}= frac{1}{sqrt{1-x^{2}}})

Oleh karena itu, Turunan dari fungsi sinus terbalik adalah

(frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} (sin^{-1}x)= frac{1}{sqrt{1-x^{2}}})

10