Tunjukkan bahwa sembarang bilangan bulat positif berbentuk 3q,3q+1, tetapi tidak berbentuk 3q+2

Diberikan: sembarang bilangan bulat positif

Untuk membuktikan: Setiap bilangan bulat positif berbentuk 3q,3q+1,3q+2

Bukti:

Kita tahu bahwa dari lemma pembagian Euclid untuk b = 3

Mari kita asumsikan bahwa sembarang bilangan bulat positif ‘n’ berbentuk 3q atau, 3q+1 atau 3q+2.

Jika n = 3q,

Pada kuadrat kita dapatkan,

n ² = (3q) ² = 9q ²

n ² = 3(3q ² )

n ² = 3m, di mana m adalah bilangan bulat [m = 3q ² ]

Jika n= 3q+1,

Pada kuadrat kita dapatkan,

n ² = (3q+1) ² = 9q ² + 6q + 1 { Dipecahkan menggunakan identitas (a+b) 2 = a ² + b ² + 2ab}

n ² = 3(3q ² +2q) + 1

n ² = 3m + 1, di mana m adalah bilangan bulat [m = 3q ² +2q]

Jika n= 3q+2,

Pada kuadrat kita dapatkan,

n ² = (3q+2) ² = 9q ² + 12q + 4 { Selesaikan dengan menggunakan identitas (a+b) 2 = a ² + b ² + 2ab}

n ² = 3(3q ² + 4q + 1) + 1

n ² = 3m, di mana m adalah bilangan bulat [m = 3q ² + 4q + 1]

Oleh karena itu, kuadrat dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 3m atau 3m + 1 tetapi tidak berbentuk 3m + 2.

Oleh karena itu terbukti

10