Gunakan lemma pembagian Euclid untuk menunjukkan bahwa pangkat tiga dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 9m,9m+1or9m+8.
Mari kita perhatikan dua bilangan positif a dan b di mana b = 3
Kita tahu bahwa Menurut Divisi Euclid Lemma
a = bq + r { syarat untuk r adalah (0 r < b)}
a = 3q + r —————(i) {b=3}
jadi r adalah bilangan bulat yang terletak di antara o dan 3
Oleh karena itu r dapat berupa 0, 1 atau 2.
Kasus 1: Ketika r = 0, persamaan (i) menjadi
a = 3q
Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan
a 3 = (3q) 3 = 27 q 3 = 9 (3q 3 ) = 9m
a 3 = 9m {dengan m = 3q 3 }
Kasus 2: Ketika r = 1, persamaan (i) menjadi
a = 3q + 1
Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan
a 3 = (3q + 1) 3 {menggunakan (a+b)3= a 3 + b 3 + 3a2b + 3ab 2 }
= (3q) 3 + 13 + 3 × 3q × 1(3q + 1)
= 27q 3 + 27q 2 + 9q + 1
= 9 ( 3q 3 + 3q 2 + q) + 1
= 9m + 1
Dimana m = ( 3q 3 + 3q 2 + q)
Kasus 3: Ketika r = 2, persamaannya menjadi
a = 3q + 2
Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan
a 3 = (3q + 2) 3
= 27q 3 + 54q 2 + 36q + 8
= 9 (3q 3 + 6q 2 + 4q) + 8
a3 = 9m + 8
Dimana m = (3q3 + 6q2 + 4q)
Jadi a dapat berbentuk apa saja 9m atau 9m + 1 atau, 9m + 8
Oleh karena itu terbukti
10
