Gunakan lemma pembagian Euclid untuk menunjukkan bahwa pangkat tiga dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 9m,9m+1 atau 9m+8
Penyelesaian:
Mari kita pertimbangkan a dan b di mana a adalah bilangan positif apa pun dan b sama dengan 3.
Menurut Divisi Euclid Lemma
a = bq + r
di mana r lebih besar atau sama dengan nol dan lebih kecil dari b (0 r < b)
a = 3q + r
jadi r adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan 0 dan lebih kecil dari 3.
Oleh karena itu r dapat berupa 0, 1 atau 2.
Kasus 1: Ketika r = 0 , persamaannya menjadi
a = 3q
Kubik kedua sisinya
a 3 = (3q) 3
a 3 = 27 q 3
a 3 = 9 (3q 3 )
a 3 = 9m
dimana m = 3q 3
Kasus 2: Ketika r = 1 , persamaannya menjadi
a = 3q + 1
Kubik kedua sisinya
a 3 = (3q + 1) 3
a 3 = (3q) 3 + 1 3 + 3 × 3q × 1(3q + 1)
a 3 = 27q 3 + 1 + 9q × (3q + 1)
a 3 = 27q 3 + 1 + 27q 2 + 9q
a 3 = 27q 3 + 27q 2 + 9q + 1
a 3 = 9 ( 3q 3 + 3q 2 + q) + 1
a 3 = 9m + 1
Dimana m = ( 3q 3 + 3q 2 + q)
Kasus 3: Ketika r = 2, persamaannya menjadi
a = 3q + 2
Kubik kedua sisinya
a 3 = (3q + 2) 3
a 3 = (3q) 3 + 2 3 + 3 × 3q × 2 (3q + 2)
a 3 = 27q 3 + 8 + 54q 2 + 36q
a 3 = 27q 3 + 54q 2 + 36q + 8
a 3 = 9 (3q 3 + 6q 2 + 4q) + 8
a 3 = 9m + 8
Dimana m = (3q 3 + 6q 2 + 4q)oleh karena itu a dapat berbentuk 9m atau 9m + 1 atau, 9m + 8.
10
