Gunakan lemma pembagian Euclid untuk menunjukkan bahwa kuadrat dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 3m atau 3m+1 untuk beberapa bilangan bulat m.
Penyelesaian:
Mari kita pertimbangkan bilangan bulat positif a
Bagilah bilangan bulat positif a dengan 3, dan biarkan r menjadi pengingat dan b menjadi hasil bagi sehingga
a = 3b + r………………………………(1)
dimana r = 0,1,2,3…..
Kasus 1: Pertimbangkan r = 0
Persamaan (1) menjadi
a = 3b
Saat mengkuadratkan kedua sisinya
a 2 = (3b) 2
a 2 = 9b 2
a 2 = 3 × 3b 2
a 2 = 3m
Dimana m = 3b 2
Kasus 2: Misalkan r = 1
Persamaan (1) menjadi
a = 3b + 1
Mengkuadratkan di kedua sisi kita dapatkan
a 2 = (3b + 1) 2
a 2 = (3b) 2 + 1 + 2 × (3b) × 1
a 2 = 9b 2 + 6b + 1
a 2 = 3 (3b 2 + 2b) + 1
a 2 = 3m + 1
Dimana m = 3b 2 + 2b
Kasus 3: Misalkan r = 2
Persamaan (1) menjadi
a = 3b + 2
Mengkuadratkan di kedua sisi kita dapatkan
a 2 = (3b + 2) 2
a 2 = 9b 2 + 4 + (2 × 3b × 2)
a 2 = 9b 2 + 12b + 3 + 1
a 2 = 3(3b 2 + 4b + 1) + 1
a 2 = 3m + 1
di mana m = 3b 2 + 4b + 1
kuadrat dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 3m atau 3m+1.
Oleh karena itu terbukti.
Artikel untuk Dijelajahi:
Apa itu Algoritma Pembagian Euclid?
Apa itu Lemma Divisi Euclid?
10
