Buktikan bahwa akar kuadrat dari 3 adalah bilangan irasional.
Kita harus membuktikan bahwa akar kuadrat dari 3 adalah bilangan irasional.
Bukti
Mari kita asumsikan sebaliknya bahwa 3 adalah bilangan rasional.
Dapat dinyatakan dalam bentuk p/q
di mana p dan q adalah ko-prima dan q≠ 0.
3 = p/q
3 = p 2 /q 2 (Mengkuadratkan di kedua sisi)
3q 2 = p 2 ………………………………..(1)
Ini berarti bahwa 3 membagi p 2 dan juga 3 membagi p karena setiap faktor harus muncul dua kali agar kuadrat ada.
Jadi p = 3r
di mana r adalah bilangan bulat.
p 2 = 9r 2 ………………………………..(2)
dari persamaan (1) dan (2)
⇒ 3q 2 = 9r 2
⇒ q 2 = 3r 2
Kita memiliki dua kasus untuk dipertimbangkan sekarang.
Kasus I
Misalkan r genap. Maka r 2 genap, dan 3r 2 genap yang menunjukkan bahwa q 2 genap dan q genap, tetapi hal ini tidak mungkin terjadi. Jika q dan r keduanya genap maka gcd(q,r)≥2 merupakan kontradiksi.
Kasus II
Sekarang anggaplah r ganjil. Kemudian r 2 ganjil dan 3r 2 ganjil yang menyiratkan bahwa q 2 ganjil dan q ganjil. Karena q dan r keduanya ganjil, kita dapat menulis q=2m−1 dan r=2n−1 untuk beberapa m,n∈N.
Karena itu
q 2 = 3r 2
(2m−1) 2 =3(2n−1) 2
4m 2 4m +1=3(4n 2 4n +1)
4m 2 4m +1=12n 2 12n+3
4m 2 4m =12n 2 12n+2
2m 2 2m =6n 2 6n +1
2(m 2 m)=2(3n 2 3n )+1
Kita perhatikan bahwa ruas kiri persamaan ini genap, sedangkan ruas kanan persamaan ini ganjil, yang merupakan kontradiksi. Oleh karena itu tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 =3.
Jadi akar dari 3 adalah bilangan irasional.
Maka Terbukti
10