Buktikan bahwa akar 5 adalah bilangan irasional
Diberikan: 5
Kita perlu membuktikan bahwa 5 tidak rasional
Bukti:
Mari kita asumsikan bahwa 5 adalah bilangan rasional.
Sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dimana p,q adalah bilangan bulat ko-prima dan q≠0
5 = p/q
Saat mengkuadratkan kedua sisi, kita mendapatkan,
5 = p²/q²
5q² = p² —————–(i)
p²/5 = q²
Jadi 5 habis dibagi p
p adalah kelipatan dari 5
p = 5m
⇒ p² = 25m² ————-(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh,
5q² = 25m²
⇒ q² = 5m²
q² adalah kelipatan 5
q adalah kelipatan 5
Oleh karena itu, p,q memiliki faktor persekutuan 5. Ini bertentangan dengan asumsi kita bahwa mereka adalah bilangan prima. Oleh karena itu, p/q bukan bilangan rasional
5 adalah bilangan irasional.
Oleh karena itu terbukti
10