Buktikan bahwa 2+√3 irasional.
Penyelesaian:
Diketahui 2 + 3
Untuk membuktikan : 2 + 3 adalah bilangan irasional.
Bukti:
Mari kita asumsikan bahwa 2 + 3 adalah bilangan rasional.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk a/b
2 + 3 = a/b
Di sini a dan b adalah bilangan koprima dan b 0
Pemecahan
2 + 3 = a/b
2 = a/b – 3
Saat mengkuadratkan kedua sisi kita dapatkan,
=> (√2) 2 = (a/b – 3) 2
Kita tahu itu
(a – b) 2 = a 2 + b 2 – 2ab
Jadi persamaan (a/b – 3) 2 dapat ditulis sebagai
(a/b – 3) 2 = a 2 /b 2 + 3 – 2 (a/b)√3
Substitusi ke persamaan yang kita peroleh
2 = a 2 /b 2 + 3 – 2 × 3 (a/b)
Atur ulang persamaan yang kita dapatkan
a 2 /b 2 + 3 – 2 = 2 × 3 (a/b)
a 2 /b 2 + 1 = 2 × 3 (a/b)
(a 2 + b 2 )/b 2 × b/2a = 3
(a 2 + b 2 )/2ab = 3
Karena, a, b adalah bilangan bulat, (a 2 + b 2 )/2ab adalah bilangan rasional.
3 adalah bilangan rasional.
Ini bertentangan dengan asumsi kita bahwa 3 tidak rasional.
asumsi kita salah
Jadi 2 + 3 adalah irasional.
10
